Het artikel in Pythagoras

Onlangs verscheen er een artikel van mij in Pythagoras. Hieronder staat hetzelfde artikel.

Je kent vierentwintig waarschijnlijk van de flippo's uit de Smith's zakjes chips. Je krijgt vier getallen tussen 1 en 9, met de bewerkingen +, -, x en : moet je 24 maken. Het 24-spel wordt tegenwoordig veel gebruikt in het rekenonderwijs. Eigenlijk zijn er versies van het spel, afhankelijk van hoe je de berekening mag uitvoeren.

Ik heb een spelletje geschreven, genaamd Flippo, dat gebaseerd is op de tweede genoemde versie van het 24-spel. Later heb ik nog een versie geschreven, die voldoet aan de derde hierboven genoemde beschrijving. Dit spel doopte ik Flipplus. Er wordt een viertal getallen gekozen. De bedoeling is om binnen twee minuten de oplossing te raden. De opgaven variëren in moeilijkheidsgraad van zéér eenvoudig tot heel moeilijk. Daarnaast is er een speciale docentenversie, die kan worden gebruikt door docenten om geschikte opgaven voor de leerlingen te selecteren. Mochten de leerlingen na een tijd alle mogelijke sommen een keer gezien hebben (het zijn er 404, zie daarvoor ook de aflevering van Pythagoras van oktober 2001, de ingekomen post), dan kan eenvoudig een ander resultaat, of andere startwaarden worden gekozen. In dit artikel wil ik uitleggen wat er kwam kijken bij het schrijven van Flippo. Daarna geef ik enkele tips voor het oplossen van 24-spelopgaven. Tenslotte eindig ik met een hele reeks opgaven van verschillende zwaarte. Meer opgaven staan op mijn homepage www.coster.demon.nl, waar ook Flippo te vinden is.

Het spel heeft een vrij Spartaans uiterlijk. Ik nodig iedereen uit om het spel een ander uiterlijk te geven.

de vorm van de berekening

Hoe kom je er met de computer achter of vier getallen samen 24 kunnen opleveren? Het idee is simpel: laat de computer alle mogelijke berekeningen van +, -, x of : met die vier getallen, in alle mogelijke volgorden uitproberen. Welke mogelijke berekeningen zijn er allemaal? Ten eerste heb je te maken met de vorm van de berekening. Met vier getallen abcd kun je namelijk op verschillende manieren te werk gaan. Je kunt 'doorrekenen' zoals in versie 1. Je kunt ook eerst a en b nemen, dan c en d, en dan tenslotte de beide resultaten. De berekening heeft dan de vorm (a # b) # (c # d). In totaal zijn er vijf verschillende vormen mogelijk:
  1. ((a # b) # c) # d, bijvoorbeeld ((7 + 1) - 4) x 6 = 24,
  2. (a # (b # c)) # d, bijvoorbeeld (6 : (8 - 6)) x 8 = 24,
  3. (a # b) # (c # d), bijvoorbeeld (5 + 7) x (9 - 7) = 24,
  4. a # ((b # c) # d), maar hoeft niet te worden gebruikt voor het resultaat 24,
  5. a # (b # (c # d)), bijvoorbeeld 6 : (1 - (3 : 4)) = 24.

(*) Kun je nagaan dat dit alle mogelijkheden zijn om haakjes te plaatsen?

Die verschillende vormen leveren overigens vaak hetzelfde resultaat. Neem je alleen maar + dan doet de volgorde er helemaal niet toe: ((4 + 5) + 7) + 8 = (4 +(5 + 7)) + 8 = (4 + 5) + (7 + 8) = 4 + ((5 + 7) + 8) = 4 + (5 +(7 + 8))= 24. Vandaar dat we bij de keuze van de drie operaties trachten niet in herhalingen te vallen.

Hoeveel verschillende formules?

In principe kan voor elke # elk van de vier bewerkingen worden ingevuld. Elke vorm levert dus 4 x 4 x 4 = 64 formules op. Met de vijf vormen en de vier bewerkingen kunnen we dus in totaal 320 formules maken. Maar veel formules worden dan dubbel geteld. We zagen al dat de verschillende vormen bij bepaalde bewerkingen hetzelfde resultaat geven. Ook zijn er heel wat onzinnige formules bij. Wat te denken van ((a - b) - c) - d of ((a : b) : c) : d. Het zal wel duidelijk zijn dat met deze formules en de beginwaarden tussen 1 en 9 nooit als resultaat 24 behaald kan worden. Deze formules heb ik echter wel meegenomen, omdat ik hetzelfde programma ook wil gebruiken als het eindresultaat niet 24 moet zijn, maar bijvoorbeeld 1. (Zie opnieuw het Pythagorasnummer van oktober 2001). In totaal kom ik op 93 verschillende formules:
No. Formule (Type I) #1 #24
1.1 ((a + b) + c) + d = r   0 27
1.2 ((a + b) + c) - d = r   31 4
1.3 ((a + b) - c) - d = r   140 0
1.4 ((a - b) - c) - d = r   16 0
1.5 ((a + b) + c) * d = r   0 24
1.6 ((a + b) + c) : d = r   23 3
1.7 ((a + b) - c) * d = r   25 117
1.8 ((a + b) - c) : d = r   95 0
1.9 ((a - b) - c) * d = r   16 17
1.10 ((a - b) - c) : d = r   23 0
1.11 ((a + b) * c) + d = r   0 38
1.12 ((a + b) * c) - d = r   35 41
1.13 ((a - b) * c) + d = r   150 54
1.14 ((a - b) * c) - d = r   91 30
1.15 ((a + b) : c) + d = r   0 3
1.16 ((a + b) : c) - d = r   88 0
No. Formule (Type I) #1 #24
1.17 ((a - b) : c) + d = r   117 0
1.18 ((a - b) : c) - d = r   29 0
1.19 ((a * b) + c) + d = r   0 45
1.20 ((a * b) + c) - d = r   38 58
1.21 ((a * b) - c) - d = r   48 25
1.22 ((a : b) + c) + d = r   0 3
1.23 ((a : b) + c) - d = r   101 0
1.24 ((a : b) - c) - d = r   19 0
1.25 ((a + b) * c) * d = r   0 22
1.26 ((a + b) * c) : d = r   27 51
1.27 ((a + b) : c) : d = r   56 0
1.28 ((a - b) * c) * d = r   8 57
1.29 ((a - b) * c) : d = r   116 20
1.30 ((a - b) : c) : d = r   29 0
1.31 ((a * b) + c) * d = r   0 29
1.32 ((a * b) + c) : d = r   29 12
No. Formule (Type I) #1 #24
1.33 ((a * b) - c) * d = r   13 55
1.34 ((a * b) - c) : d = r   56 9
1.35 ((a : b) + c) * d = r   0 72
1.36 ((a : b) + c) : d = r   116 0
1.37 ((a : b) - c) * d = r   29 16
1.38 ((a : b) - c) : d = r   27 0
1.39 ((a * b) * c) + d = r   0 10
1.40 ((a * b) * c) - d = r   14 10
1.41 ((a * b) : c) + d = r   0 19
1.42 ((a * b) : c) - d = r   104 9
1.43 ((a : b) : c) + d = r   0 0
1.44 ((a : b) : c) - d = r   15 0
1.45 ((a * b) * c) * d = r   1 5
1.46 ((a * b) * c) : d = r   14 29
1.47 ((a * b) : c) : d = r   54 4
1.48 ((a : b) : c) : d = r   14 0
No. Formule (Type II) #1 #24
2.1 (a - (b * c)) + d = r   55 0
2.2 (a - (b * c)) - d = r   22 0
2.3 (a - (b : c)) + d = r   32 0
2.4 (a - (b : c)) - d = r   100 0
2.5 (a - (b * c)) * d = r   11 18
2.6 (a - (b * c)) : d = r   29 0
2.7 (a - (b : c)) * d = r   45 71
2.8 (a - (b : c)) : d = r   116 0
2.9 (a : (b + c)) + d = r   0 0
2.10 (a : (b + c)) - d = r   5 0
2.11 (a : (b - c)) + d = r   78 0
2.12 (a : (b - c)) - d = r   72 0
2.13 (a : (b + c)) * d = r   56 2
2.14 (a : (b + c)) : d = r   27 0
2.15 (a : (b - c)) * d = r   29 28
2.16 (a : (b - c)) : d = r   116 0
No. Formule (Type III) #1 #24
3.1 (a + b) * (c + d) = r   0 14
3.2 (a + b) * (c - d) = r   0 70
3.3 (a - b) * (c - d) = r   36 21
3.4 (a + b) : (c + d) = r   95 0
3.5 (a + b) : (c - d) = r   23 0
3.6 (a - b) : (c + d) = r   23 0
3.7 (a - b) : (c - d) = r   86 0
3.8 (a * b) + (c * d) = r   0 17
3.9 (a * b) + (c : d) = r   0 10
3.10 (a : b) + (c : d) = r   34 0
3.11 (a * b) - (c * d) = r   29 24
3.12 (a * b) - (c : d) = r   29 16
3.13 (a : b) - (c * d) = r   17 0
3.14 (a : b) - (c : d) = r   101 0
No. Formule (Type IV) #1 #24
4.1 a - ((b * c) * d) = r   12 0
4.2 a - ((b * c) : d) = r   101 0
4.3 a - ((b : c) : d) = r   27 0
4.4 a - ((b + c) * d) = r   22 0
4.5 a - ((b + c) : d) = r   92 0
4.6 a : ((b + c) + d) = r   23 0
4.7 a : ((b + c) - d) = r   95 0
4.8 a : ((b - c) - d) = r   23 0
4.9 a : ((b * c) + d) = r   29 0
4.10 a : ((b * c) - d) = r   56 0
4.11 a : ((b : c) + d) = r   116 0
4.12 a : ((b : c) - d) = r   27 7
No. Formule (Type V) #1 #24
5.1 a - (b : (c + d)) = r   27 0
5.2 a : (b - (c * d)) = r   29 0
5.3 a : (b - (c : d)) = r   116 11
Toelichting
#1 betekent aantal viertallen die 1 opleveren door gebruik te maken van die formule
Voorbeeld
2.10 : #1 (Aantal oplossingen is 5) 1. (4 : (1 + 1)) - 1 = 1
2a. (6 : (2 + 1)) - 1 = 1
2b. (6 : (1 + 1)) - 2 = 1
3a. (8 : (3 + 1)) - 1 = 1
3b. (8 : (1 + 1)) - 3 = 1
4. (8 : (2 + 2)) - 1 = 1
5. (9 : (2 + 1)) - 2 = 1

Bij 2a en 2b worden weliswaar verschillende oplossingen weergegeven, maar dit gebeurt met hetzelfde viertal. Om redenen van efficientie wordt een dergelijke oplossing slechts eenmaal meegeteld.

#24 betekent aantal viertallen die 24 opleveren door gebruik te maken van die formule
Voorbeeld

1.22 : #24 (Aantal oplossingen is 3) 1a. ((6 : 1) + 9) + 9 = 24
1b. ((9 : 1) + 6) + 9 = 24
2a. ((7 : 1) + 8) + 9 = 24
2b. ((8 : 1) + 7) + 9 = 24
2c. ((9 : 1) + 7) + 8 = 24
3. ((8 : 1) + 8) + 8 = 24
formule I is van het type ((a # b) # c) # d
formule II is van het type (a # (b # c)) # d
formule III is van het type (a # b) # (c # d)
formule IV is van het type a # ((b # c) # d)
formule V is van het type a # (b # (c # d))
De kolommen voorzien van #(1) en #(24) geven aan hoe vaak die formules worden gebruikt om resp. eindresultaat 1 en 24 te verkrijgen. Zo is eenvoudig na te gaan dat met de formule 1.45 alleen maar 1 te verkrijgen is als alle 4 de startwaarden 1 zijn.

rectificatie

In het eerder genoemde artikel in de post is een lijst opgenomen van aantal viertallen waarmee de eindresultaten 1 t/m 24 kan worden verkregen. De redactie meldde in een voetnoot dat de resultaten voor 24 goed lijken te zijn, echter voor 1 niet. Inderdaad zijn de resultaten voor 1 en 2 onjuist. De resultaten hadden moeten zijn:
n R(n)
1 470
2 492
Dit laatste resultaat houdt in dat er slechts drie viertallen startwaarden zijn waarmee 2 niet verkregen kan worden (nl. 1117, 1118 en 1119).

Hoe nu verder?

Als we voor een viertal abcd willen testen of je 24 kunt krijgen, dan zul je alle bovengenoemde 93 formules moeten aflopen. Bovendien moet je alle mogelijke volgordes van abcd proberen. Voor 6666 is dat eenvoudig, maar voor 1289 zijn dat 24 volgordes. (Op de eerste plaats kunnen 4 getallen geplaatst worden, dan zijn er nog drie getallen over die op de tweede plaats kunnen worden geplaatst, twee getallen kunnen op de derde plaats geplaatst worden, en tenslotte rest er \'e\'en getal voor op de laatste plaats, dus 4 x 3 x 2 x 1 = 24 mogelijkheden.) In dit laatste geval moeten er 24 x 93 = 2232 mogelijkheden worden nagegaan, en steeds worden gekeken of het resultaat op 24 uitkomt. De computer telt het aantal formules dat bij een zekere combinatie van de 4 getallen tot het eindresultaat 24 leidt. (Dus ((3+4)+8)+9 en ((4+3)+8)+9 tellen slechts eenmaal mee.) Op grond van het aantal gevonden formules wordt de volgende indeling gemaakt:
Aantal formules Soort opgave
> 9 zéér eenvoudig
6-8 eenvoudig
4-5 gaat wel
2-3 lastig
1 heel lastig

Tips bij het maken van een 24-spel opgave

Werk van achteren naar voren
(*) 24 heeft een hele hoop delers: 2, 3, 4, 6 en 8. Als één van de 4 getallen (zeg a) waarmee je 24 moet maken een deler van 24 is, probeer dan met de drie overige getallen 24/a te maken.
(*) Lukt dit niet? Tel bij 24 één van de vier getallen op, en probeer vervolgens met de resterende drie getallen deze som te maken. (Of trek van 24 één van de vier getallen af.)

Twee getallen samen
(*) Ga alle mogelijkheden van twee getallen langs. Tel deze getallen op, of neem het verschil. Is het een deler van 24? Probeer met de resterende twee getallen dat getal te maken dat vermenigvuldigd met het voorafgaande getal 24 oplevert.
(*) Je weet dat de eerste stap is het kiezen van twee getallen en een bewerking. Gewoon domweg wat proberen, even kijken of het resultaat je zint, en zo niet domweg een andere getallencombinatie en een andere bewerking proberen, totdat je eindelijk geluk hebt...

Opgaven

Ik zou zeggen : Leef je nu lekker uit op het 24-spel met de volgende viertallen:
gaat wel lastig heel lastig
2339 2255 1168
3499 4555 1479
3666 1227 1799
1267 2447 1668
4667 4778 3388

Opgaven bij het 30-spel

Hieronder wordt het 30-spel gespeeld:
gaat wel lastig heel lastig
1237 2288 5599
2669 5789 6899
3349 1589 7789
1479 2267 4488
2689 5689 2477

Het 120-spel

Stel je nu eens voor dat je 5 getallen mag kiezen en nu de opdracht krijgt om met de bewerkingen +, -, x en : 120 te realiseren. Allereerst moeten we weten hoeveel formule-types er zijn.

Opgave Ga na dat er 14 formule-types zijn voor 5 getallen en 4 operaties.

De volgende stap is om de verschillende operatie-keuzes op te sommen. Er zijn ca. 600 verschillende formules! 5 Verschillende getallen kunnen op 120 manieren tussen de operaties worden geplaatst. Kortom, er zijn heel veel mogelijkheden.

Een lastige opgave

Kies 5 van de getallen 1, ..., 9, en probeer m.b.v. de operaties +, -, x en : het resultaat 120 te verkrijgen. Elk van deze opgaven bezit minimaal één oplossing.

(*) Een hele lastige opgave

Probeer met de startwaarden 4, 7, 7, 7, 8 en de operaties +, -, x en : het resultaat 120 te verkrijgen. Deze opgave is niet voor niets heel erg lastig!

Deze pagina werd op 4 mei 2004 voor het laatst bijgewerkt